คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์

เมทริกซ์ (Matrix)

เมทริกซ์

หมายถึง กลุ่มจำนวนใด ๆ ที่นำมาเรียงเป็นแถวและหลักเดียวกันอย่างเป็นระเบียบ แต่ละแถวหรือหลักจะประกอบด้วยจำนวนข้อมูลเท่า ๆ กัน

\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1\\ 2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\-1&0&2\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\frac{1}{2} &\frac{3}{4} &5\\ 3&6&\frac{5}{7} \end{bmatrix}

เมทริกซ์

  • จำนวนแต่ละจำนวนในเมทริกซ์ เรียกว่า สมาชิก (Elements)

  • จำนวนที่อยู่ในแนวนอนประกอบกันเป็นแถว (Row)

  • จำนวนที่อยู่ในแนวตั้งประกอบกันเป็นหลัก (Column)

\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}

เมทริกซ์ขนาด
1 แถว 2 หลัก

\begin{bmatrix}1\\ 2\end{bmatrix}

เมทริกซ์ขนาด
2 แถว 1 หลัก

\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}

เมทริกซ์ขนาด
2 แถว 2 หลัก

\begin{bmatrix}\frac{1}{2} &\frac{3}{4} &5\\ 3&6&\frac{5}{7} \end{bmatrix}

เมทริกซ์ขนาด
2 แถว 3 หลัก

เมทริกซ์

\begin{bmatrix}a{}_{11}&{a}_{12} &{a}_{13} &..\ .&{a}_{1n} \\ {a}_{21} &{a}_{22} &{a}_{23} &..\ .&{a}_{2n} \\ {a}_{31} &{a}_{32} &{a}_{33} &..\ .&{a}_{3n} \\ .&.&.&..\ .&.\\ {a}_{m1} &{a}_{m2} &{a}_{m3} &..\ .&{a}_{mn} \end{bmatrix}

แถวที่ 1

แถวที่ 2

แถวที่ 3

แถวที่ m

หลักที่

1

2

3

n

{a}_{แถว-หลัก}

สัญญลักษณ์สมาชิก

ตัวอย่าง

A =\begin{bmatrix}0&0&7\\1&2&-3\\0&3&2 \end{bmatrix}

เมทริกซ์ A มีมิติเท่ากับ

3 X 3

สมาชิกในแถวที่ 2 หลักที่ 3 มีค่า

-3

สมาชิกในแถวที่ 2 หลักที่ 2 มีค่า

2

สมาชิกในแถวที่ 2 หลักที่ 1 มีค่า

1

สมาชิกในแถวที่ 1 หลักที่ 3 มีค่า

7

สมาชิกในแถวที่ 1 หลักที่ 2 มีค่า

0

สมาชิกในแถวที่ 1 หลักที่ 1 มีค่า

0

สมาชิกในแถวที่ 3 หลักที่ 1 มีค่า

0

สมาชิกในแถวที่ 3 หลักที่ 2 มีค่า

3

สมาชิกในแถวที่ 3 หลักที่ 3 มีค่า

2

ชนิดของเมทริกซ์

A =\begin{bmatrix}2&3\end{bmatrix}

เมทริกซ์แถว (Row matrix)

B =\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}
C =\begin{bmatrix}0&-1&3&1\end{bmatrix}

เมทริกซ์หลัก (Column matrix)

A =\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}
B =\begin{bmatrix}9\\0\\-4\end{bmatrix}
C =\begin{bmatrix}8\\3\\1\\7\end{bmatrix}

ชนิดของเมทริกซ์

A =\begin{bmatrix}0&0&0\end{bmatrix}

เมทริกซ์ศูนย์ (Zero matrix)

B =\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}
C =\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}

เมทริกซ์จตุรัส (Square matrix)

A =\begin{bmatrix}1&9\\0&7\end{bmatrix}

2X2

B =\begin{bmatrix}5&1&9\\3&0&7\\1&1&8\end{bmatrix}

3X3

ชนิดของเมทริกซ์

A =\begin{bmatrix}5&0&0\\0&-1&0\\0&0&4\end{bmatrix}

เมทริกซ์เฉียง (Diagonal)

สเกลาร์ (Scalar matrix)

A =\begin{bmatrix}7&0&0\\0&7&0\\0&0&7\end{bmatrix}

ชนิดของเมทริกซ์

A =\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}

เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity)

สามเหลี่ยม (Triangular matrix)

A =\begin{bmatrix}4&1&-3\\0&7&8\\0&0&2\end{bmatrix}
B =\begin{bmatrix}8&0&0\\1&-6&0\\2&1&1\end{bmatrix}

ทรานสโพสของเมทริกซ์

A =\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}

Transpose

a{}^{t} =\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}
A\ =\left( A{}^{t}\right) {}^{t}

การเท่ากันของเมทริกซ์

A=\begin{bmatrix}2&\sqrt{16} \\ \frac{1}{4} &0\end{bmatrix}
B=\begin{bmatrix}\sqrt{4} &4\\ 0.5&0\end{bmatrix}

A จะเท่ากับ B ก็ต่อเมื่อ

  1. เมทริกซ์ทั้งสองมีขนาดมิติเท่ากัน (2 X 2)

  2. สมาชิกในแต่ละตำแหน่งมีค่าเท่ากันทุกตัว

ตัวอย่าง

A=\begin{bmatrix}\frac{4x^{2}}{-2} \end{bmatrix}
B=\begin{bmatrix}\frac{7x-y}{y} \end{bmatrix}

จงหาค่าของ x และ y เมื่อกำหนดให้ A = B

การบวกเมทริกซ์

A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}
B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}

เมทริกซ์ A + B เท่ากับ

A+B=\begin{bmatrix}(a_{11}+b_{11})&(a_{12}+b_{12})\\ (a_{21}+b_{21})&(a_{22}+b_{22})\end{bmatrix}

การลบแมทริกซ์

A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}
B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}

เมทริกซ์ A - B เท่ากับ

A-B=\begin{bmatrix}(a_{11}-b_{11})&(a_{12}-b_{12})\\ (a_{21}-b_{21})&(a_{22}-b_{22})\end{bmatrix}

การคูณแมทริกซ์ (Scarlar)

A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}

นำค่าคงที่ K มาคูณกับเมทริกซ์ A เท่ากับ

K\times A=\begin{bmatrix}K\times a_{11}&K\times a_{12}\\ K\times a_{21}&K\times a_{22}\end{bmatrix}

การคูณแมทริกซ์ (Matrix)

A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}

ผลคูณเมทริก์ A กับเมทริกซ์ B เท่ากับ

A\times B=\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}\\ C_{21}&C_{22}\end{bmatrix}
B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}

เมื่อ

การคูณแมทริกซ์ (Matrix)

C_{11}=\left( a_{11}\times b_{11}\right) +\left( a_{12}\times b_{21}\right)
A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}
B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}
C_{12}=\left( a_{11}\times b_{12}\right) +\left( a_{12}\times b_{22}\right)
A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}
B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}

การคูณแมทริกซ์ (Matrix)

C_{21}=\left( a_{21}\times b_{11}\right) +\left( a_{22}\times b_{21}\right)
A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}
B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}
C_{22}=\left( a_{21}\times b_{12}\right) +\left( a_{22}\times b_{22}\right)
A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}
B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}

คุณสมบัติการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์

\left( AB\right) C=A\left( CB\right)
1A=A1=A\left( \text{1 เป็นเอกลักษณ์ของการคูณ} \right)
A\left( A^{-1}\right) =\left( A^{-1}\right) A=1
A\left( B+C\right) =AB+AC\
\text{หรือ} \ \left( B+C\right) A=BA+CA

ตัวอย่าง

ข้อมูลบ้านจัดสรร ประกอบด้วย ศรีวรการ-1 และ ศรีวรการ-2 ตามรายละเอียดต่อไปนี้

หมู่บ้าน บ้านเดี่ยวแบบ A บ้านเดี่ยวแบบ B บ้านเดี่ยวแบบ C
ศรีวรการ-1 10 หลัง 15 หลัง 20 หลัง
ศรีวรการ-2 12 หลัง 10 หลัง 30 หลัง

คำนวณวัสดุก่อสร้างได้แก่ เต้าเสียบไฟ และสวิตซ์ไฟ เปิด/ปิด ที่ต้องใช้ดังต่อไปนี้

แบบบ้าน เต้าเสียบไฟ สวิตซ์ไฟ เปิด/ปิด
บ้านเดี่ยวแบบ A 35 ตัว 25 ตัว
บ้านเดี่ยวแบบ B 25 ตัว 18 ตัว
บ้านเดี่ยวแบบ C 15 ตัว 12 ตัว

จงคำนวณหาเต้าเสียบไฟและสวิตซ์ไฟ ที่ต้องใช้ในแต่ละหมู่บ้าน

Aj. Krit Th.

https://www.kritth.com