คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์
เมทริกซ์ (Matrix) II
ตัวกำหนด - Determinant
-
การหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์จะให้คําตอบเป็นตัวเลขตัวหนึ่งซึ่งสามารถหาได้จากเมตริกซ์จัตุรัสใดๆ
-
ดีเทอร์มิแนนท์เมตริกซ์ A เขียนแทนด้วย det(A) หรือ |A|
-
สําหรับเมทริกซ์จัตุรัสขนาด 2x2 สามารถคํานวณได้ดังนี้
A=\begin{bmatrix}a&b \\ c&d \end{bmatrix}
det\left( A\right) =ad-bc
ตัวอย่าง
กำหนดให้
A=\begin{bmatrix}2&-4 \\ 1&3 \end{bmatrix}
จงหา ตัวกำหนดของ A (det(A) หรือ |A|)
ตัวอย่าง
กำหนดให้
A=\begin{bmatrix}2&-4 \\ 1&3 \end{bmatrix}
det\left( -2A^{3}A^{t}\left( A+A^{t}\right) \right)
จงหาคำตอบสมการต่อไปนี้
ตัวกำหนด - Determinant
-
สําหรับเมทริกซ์จัตุรัสขนาด 3x3 สามารถคํานวณได้ดังนี้
A=\begin{bmatrix}a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{bmatrix}
det\left( A\right) =(aei+bfg+cdh)
\begin{matrix}a&b\\ d&e\\ g&h\end{matrix}
+
+
+
-\left( gec+hfa+idb\right)
-
-
-
ตัวอย่าง
กำหนดให้
A=\begin{bmatrix} 2&4&1 \\ 1&5&2 \\ 3&2&1 \end{bmatrix}
เมทริกซ์ที่กำหนดให้ จงหา |A| และ |B|
B=\begin{bmatrix} 2&4&1 \\ 6&5&-2 \\ 3&3&-1 \end{bmatrix}
ไมเนอร์ และโคแฟกเตอร์ (Minor & Cofactor)
กำหนดให้
A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}
ไมเนอร์ของ มีค่าเท่ากับ
a_{11}\ (M_{11})
M_{11}=\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33}\end{bmatrix} =\left( a_{22}a_{33}-a_{32}a_{23}\right)
หาโคแฟกเตอร์ (Cofactor)
กำหนดให้
A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}
โคแฟกเตอร์ของ มีค่าเท่ากับ
a_{11}\ (C_{11})
C_{11}=\left( -1\right)^{\text{แถว + หลัก} } M_{11}
C_{11}=\left( -1\right)^{\text{1 + 1} } M_{11}
C_{11}=\left( -1^{2}\right) \left( a_{22}a_{33}-a_{32}a_{23}\right)
การหาเครื่องหมายของไมเนอร์
สำหรับแมทริกซ์ 3 X 3
A=\begin{bmatrix}+&-&+\\ -&+&-\\ +&-&+\end{bmatrix}
ตัวอย่าง
กำหนดให้
A=\begin{bmatrix} x&y&4 \\ -3&8&0 \\ x&-y&1 \end{bmatrix}
\text{โดย} \ C_{21}\left( A\right) =-6,\ C_{23}\left( A\right) =4\ \text{จงหา} \ C_{33}\left( A\right)
จงหาคำตอบสมการต่อไปนี้
สมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร (Linear Equation)
จากสมการเชิงเส้น
a_{1}X+b_{1}Y=Z_{1}
กำหนด
a_{2}X+b_{2}Y=Z_{2}
D=\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\ a_{2}&b_{2}\end{bmatrix}
D_{x}=\begin{bmatrix}z_{1}&b_{1}\\ z_{2}&b_{2}\end{bmatrix}
D_{y}=\begin{bmatrix}a_{1}&z_{1}\\ a_{2}&z_{2}\end{bmatrix}
X=\frac{D_{x}}{D}
Y=\frac{D_{y}}{D}
เมื่อ a, b, z เป็นค่าคงที่
และ X, Y คือ ตัวแปรที่ต้องการหาค่า
สมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร (Linear Equation)
จากสมการเชิงเส้น
a_{1}W+b_{1}X+c_{1}Y=Z_{1}
กำหนด
a_{2}W+b_{2}X+c_{2}Y=Z_{2}
เมื่อ a, b, c, z เป็นค่าคงที่
และ W, X, Y คือ ตัวแปรที่ต้องการหาค่า
a_{3}W+b_{3}X+c_{3}Y=Z_{3}
D=\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\ a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}
สมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร (Linear Equation)
จากสมการเชิงเส้น
a_{1}W+b_{1}X+c_{1}Y=Z_{1}
กำหนด
a_{2}W+b_{2}X+c_{2}Y=Z_{2}
เมื่อ a, b, c, z เป็นค่าคงที่
และ W, X, Y คือ ตัวแปรที่ต้องการหาค่า
a_{3}W+b_{3}X+c_{3}Y=Z_{3}
D_{W}=\begin{bmatrix}z_{1}&b_{1}&c_{1}\\ z_{2}&b_{2}&c_{2}\\ z_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}
D_{X}=\begin{bmatrix}a_{1}&z_{1}&c_{1}\\ a_{2}&z_{2}&c_{2}\\ a_{3}&z_{3}&c_{3}\end{bmatrix}
D_{Y}=\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&z_{1}\\ a_{2}&b_{2}&z_{2}\\ a_{3}&b_{3}&z_{3}\end{bmatrix}
สมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร (Linear Equation)
จากสมการเชิงเส้น
a_{1}W+b_{1}X+c_{1}Y=Z_{1}
กำหนด
a_{2}W+b_{2}X+c_{2}Y=Z_{2}
เมื่อ a, b, c, z เป็นค่าคงที่
และ W, X, Y คือ ตัวแปรที่ต้องการหาค่า
a_{3}W+b_{3}X+c_{3}Y=Z_{3}
W=\frac{D_{W}}{D}
X=\frac{D_{X}}{D}
Y=\frac{D_{Y}}{D}
ตัวอย่าง
จากสมการเชิงเส้น
2X+3Y=8
x-2Y=-3
จงหาค่าตัวแปร X, และ Y
ตัวอย่าง
จากสมการเชิงเส้น
X+2Y+3Z=3
2x-2Y-2Z=6
จงหาค่าตัวแปร X, Y, และ Z
2x+Y-z=-3
Aj. Krit Th.
https://www.kritth.com