คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์

เมทริกซ์ (Matrix) II

ตัวกำหนด - Determinant

  • การหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์จะให้คําตอบเป็นตัวเลขตัวหนึ่งซึ่งสามารถหาได้จากเมตริกซ์จัตุรัสใดๆ

  • ดีเทอร์มิแนนท์เมตริกซ์ A เขียนแทนด้วย det(A) หรือ |A|

  • สําหรับเมทริกซ์จัตุรัสขนาด 2x2 สามารถคํานวณได้ดังนี้

A=\begin{bmatrix}a&b \\ c&d \end{bmatrix}
det\left( A\right) =ad-bc

ตัวอย่าง

กำหนดให้

A=\begin{bmatrix}2&-4 \\ 1&3 \end{bmatrix}

จงหา ตัวกำหนดของ A (det(A) หรือ |A|)

ตัวอย่าง

กำหนดให้

A=\begin{bmatrix}2&-4 \\ 1&3 \end{bmatrix}
det\left( -2A^{3}A^{t}\left( A+A^{t}\right) \right)

จงหาคำตอบสมการต่อไปนี้

ตัวกำหนด - Determinant

  • สําหรับเมทริกซ์จัตุรัสขนาด 3x3 สามารถคํานวณได้ดังนี้

A=\begin{bmatrix}a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{bmatrix}
det\left( A\right) =(aei+bfg+cdh)
\begin{matrix}a&b\\ d&e\\ g&h\end{matrix}

+

+

+

-\left( gec+hfa+idb\right)

-

-

-

ตัวอย่าง

กำหนดให้

A=\begin{bmatrix} 2&4&1 \\ 1&5&2 \\ 3&2&1 \end{bmatrix}

เมทริกซ์ที่กำหนดให้ จงหา |A| และ |B|

B=\begin{bmatrix} 2&4&1 \\ 6&5&-2 \\ 3&3&-1 \end{bmatrix}

ไมเนอร์ และโคแฟกเตอร์ (Minor & Cofactor)

กำหนดให้

A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}

ไมเนอร์ของ                 มีค่าเท่ากับ

a_{11}\ (M_{11})
M_{11}=\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33}\end{bmatrix} =\left( a_{22}a_{33}-a_{32}a_{23}\right)

หาโคแฟกเตอร์ (Cofactor)

กำหนดให้

A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}

โคแฟกเตอร์ของ                 มีค่าเท่ากับ

a_{11}\ (C_{11})
C_{11}=\left( -1\right)^{\text{แถว + หลัก} } M_{11}
C_{11}=\left( -1\right)^{\text{1 + 1} } M_{11}
C_{11}=\left( -1^{2}\right) \left( a_{22}a_{33}-a_{32}a_{23}\right)

การหาเครื่องหมายของไมเนอร์

สำหรับแมทริกซ์ 3 X 3

A=\begin{bmatrix}+&-&+\\ -&+&-\\ +&-&+\end{bmatrix}

ตัวอย่าง

กำหนดให้

A=\begin{bmatrix} x&y&4 \\ -3&8&0 \\ x&-y&1 \end{bmatrix}
\text{โดย} \ C_{21}\left( A\right) =-6,\ C_{23}\left( A\right) =4\ \text{จงหา} \ C_{33}\left( A\right)

จงหาคำตอบสมการต่อไปนี้

สมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร (Linear Equation)

จากสมการเชิงเส้น

a_{1}X+b_{1}Y=Z_{1}

กำหนด

a_{2}X+b_{2}Y=Z_{2}
D=\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\ a_{2}&b_{2}\end{bmatrix}
D_{x}=\begin{bmatrix}z_{1}&b_{1}\\ z_{2}&b_{2}\end{bmatrix}
D_{y}=\begin{bmatrix}a_{1}&z_{1}\\ a_{2}&z_{2}\end{bmatrix}
X=\frac{D_{x}}{D}
Y=\frac{D_{y}}{D}

เมื่อ a, b, z เป็นค่าคงที่

และ X, Y คือ ตัวแปรที่ต้องการหาค่า

สมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร (Linear Equation)

จากสมการเชิงเส้น

a_{1}W+b_{1}X+c_{1}Y=Z_{1}

กำหนด

a_{2}W+b_{2}X+c_{2}Y=Z_{2}

เมื่อ a, b, c, z เป็นค่าคงที่

และ W, X, Y คือ ตัวแปรที่ต้องการหาค่า

a_{3}W+b_{3}X+c_{3}Y=Z_{3}
D=\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\ a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}

สมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร (Linear Equation)

จากสมการเชิงเส้น

a_{1}W+b_{1}X+c_{1}Y=Z_{1}

กำหนด

a_{2}W+b_{2}X+c_{2}Y=Z_{2}

เมื่อ a, b, c, z เป็นค่าคงที่

และ W, X, Y คือ ตัวแปรที่ต้องการหาค่า

a_{3}W+b_{3}X+c_{3}Y=Z_{3}
D_{W}=\begin{bmatrix}z_{1}&b_{1}&c_{1}\\ z_{2}&b_{2}&c_{2}\\ z_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}
D_{X}=\begin{bmatrix}a_{1}&z_{1}&c_{1}\\ a_{2}&z_{2}&c_{2}\\ a_{3}&z_{3}&c_{3}\end{bmatrix}
D_{Y}=\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&z_{1}\\ a_{2}&b_{2}&z_{2}\\ a_{3}&b_{3}&z_{3}\end{bmatrix}

สมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร (Linear Equation)

จากสมการเชิงเส้น

a_{1}W+b_{1}X+c_{1}Y=Z_{1}

กำหนด

a_{2}W+b_{2}X+c_{2}Y=Z_{2}

เมื่อ a, b, c, z เป็นค่าคงที่

และ W, X, Y คือ ตัวแปรที่ต้องการหาค่า

a_{3}W+b_{3}X+c_{3}Y=Z_{3}
W=\frac{D_{W}}{D}
X=\frac{D_{X}}{D}
Y=\frac{D_{Y}}{D}

ตัวอย่าง

จากสมการเชิงเส้น

2X+3Y=8
x-2Y=-3

จงหาค่าตัวแปร X, และ Y

ตัวอย่าง

จากสมการเชิงเส้น

X+2Y+3Z=3
2x-2Y-2Z=6

จงหาค่าตัวแปร X, Y, และ Z

2x+Y-z=-3

Aj. Krit Th.

https://www.kritth.com